El mayor número primo conocido

Número primo es aquel número natural mayor que uno que sólo es divisible por él mismo y por la unidad. Por ejemplo, los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

El Teorema Fundamental de la Aritmética afirma que cualquier número no primo (compuesto) puede escribirse de una única manera como producto de números primos. Por ejemplo:  70 = 2.5.7 .  Los números primos son, por tanto, los cimientos sobre los que se construye todo el edificio de la Aritmética, razón por la cual constituyen el objeto central de su estudio.

Ya Euclides, en el siglo III a.C., demostró de un modo sencillo y elegante que hay infinitos números primos, es decir, siempre hay uno mayor que cualquiera que encontremos por muy grande que sea. A partir de entonces ha atraído en gran manera a los matemáticos y aficionados a esta disciplina la idea de obtener una fórmula que nos permita expresarlos todos o al menos un conjunto indefinido de ellos, algo que no se ha conseguido.

     

       Sí que hay métodos para ir formando ordenadamente la sucesión de los números primos y actualmente con la ayuda del ordenador se puede ir generando estos números con una enorme rapidez, pero no existe un procedimiento de cálculo que nos diga cuál es el número primo que ocupa un determinado lugar en la sucesión. Sí que sabemos que entre los más grandes cada vez son más escasos los números primos. Hay 25 entre los 100 primeros naturales, 21 entre los 100 siguientes, etc..

       El primer método de construcción de los números primos que se conoce es el debido al matemático griego Eratóstenes de Cirene, quien en el siglo III a.C. dio un método para seleccionar números primos, que consistía en ir tachando los números que no son primos de la sucesión ordenada de los números naturales.

      

       Si cogemos los 100 primeros números naturales y aplicamos lo anterior tenemos lo que se conoce como Criba de Eratóstenes. Para su construcción ordenamos dichos números formando seis columnas. A continuación procedemos del siguiente modo:

q       Se tacha el 1, que no es primo.

q       Eliminamos los múltiplos de 2, excepto el 2, es decir los números de las columnas 2ª , 4ª  y 6ª .

q       Se eliminan los múltiplos de 3, salvo el 3 (columna 3ª , pues la 6ª  ya está eliminada).

q       Quitamos los múltiplos de 5, salvo el 5, y los múltiplos de 7, excepto el 7. Tanto unos como otros se encuentran formando diagonales.

       Los que van quedando son los que constituyen la sucesión de los números primos, que como podemos observar en el gráfico presentan una cierta regularidad, aunque no lo suficiente como para encontrar una expresión matemática que nos permita su construcción.

Si que existen  algunas  fórmulas  que nos dan un número finito de números primos como la descubierta por Euler en el siglo XVIII, ,, que da números primos desdehastaEl récord actual de polinomios cuadráticos que dan números primos para valores consecutivos de n lo ostenta el polinomio de Ruby:que da 45 primos para  n = 0, 1, 2, ...., 44,  pero es compuesto para n = 45.

Goldbach probó en 1752 que ningún polinomio (y Legendre que ningún cociente de polinomios) en una variable y de coeficientes enteros es primo para todo n. En otras palabras, no existe ninguna “fórmula sencilla” que genere sólo números primos.

       Podemos decir que antes de la llegada de los ordenadores el mayor de los números primos conocidos era el número de Mersenne  2¹²⁷-1, que posee 39 cifras. Los números de Mersenne (monje francés que desarrolló sus estudios sobre números primos en la primera mitad del siglo XVII)  son de la forma.Para que estos números sean primos es necesario que p también lo sea, pero no es suficiente.

      

       A partir de entonces el récord se ha ido batiendo continuamente hasta llegar a diciembre de 2005 en el que se obtuvo el que hasta la fecha es el mayor número primo conocido. Este ha sido descubierto por una pareja de científicos norteamericanos, los doctores Curtis Cooper y Steven Boone,  y posee un total de 9.152.052 cifras, con lo que se han acercado enormemente a los diez millones de cifras que es la meta para ganar los 100.000 $  destinados a quienes lo consigan. El número encontrado es el 43º  primo de Mersenne conocido hasta ahora y viene dado por:    2^30402457-1.